教材：《离散数学》第2版 屈婉玲 耿素云 张立昂 高等教育出版社 源文档高清截图在最后
第10章 群与环
10.1 群的定义与性质
1、对代数系统A = ： （1）如果为二元运算（注意：从集合S到集合S本身的二元运算是封闭的）且可结合，则称A为半群。 （2）在（1）的条件下，如果e∈S是关于*运算的单位元，则A是幺半群，或称独异点。 （3）在（2）的条件下，如果任意a∈S都有a-1∈S，就称A是群，群一般记作G。 例： （1）、，，，，都是半群，+是普通加法。它们中除了以外都是独异点，因为都含有单位元0。而，，，都是群，分别称作整数加群、有理数加群、实数加群、复数加群，因为它们的每个元素都有逆元，逆元为其相反数。 （2）设n ≥ 1，和都是半群，也都是独异点，因为矩阵加法和矩阵乘法都是可结合的，且关于它们的单位元分别是：零矩阵、单位矩阵。是群，因为每个矩阵M都有其逆元－M。不是群，因为有的矩阵没有关于乘法的逆矩阵（这里的逆矩阵不是广义的）。 （3）是群，⊕为集合的对称差运算，单位元为∅，幂集的每个集合元素的逆元为本身（S⊕S = ∅）。 （4）是群，其中Zn = {0，1，2，……，n－1}，⊕为模n加法。 （5）是独异点，▫为复合运算。只有双射函数才有反函数，所以当A为双射函数的集合时，该代数系统才构成群。 以前一般只省略乘法的运算符。但是在目前的讨论范围中，只在讨论半群、独异点和群的二元运算时，在不混淆的情况下，经常将算符省去。
2、设G = {e，a，b，c}，运算表