矩阵运算时⊗和·的区别？ In 巴西队世界杯名单 @2025-05-11 13:43:44
矩阵运算中，符号
⊗
\otimes
⊗ 表示的是张量积（tensor product），而符号
⋅
\cdot
⋅ 表示的是矩阵乘法（matrix multiplication），两者是有区别的。
张量积（
⊗
\otimes
⊗）
张量积是一种针对矩阵和向量的运算，它可以用来将两个矩阵或向量组合成一个更大的矩阵或向量。具体来说，如果
A
A
A 是一个
m
×
n
m \times n
m×n 的矩阵，
B
B
B 是一个
p
×
q
p \times q
p×q 的矩阵，那么它们的张量积
A
⊗
B
A \otimes B
A⊗B 就是一个
m
p
×
n
q
mp \times nq
mp×nq 的矩阵，其中每个元素都是由
A
A
A 和
B
B
B 对应位置上的元素相乘得到的。
例如，如果
A
=
[
1
2
3
4
]
A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix}
A=[1324]，
B
=
[
5
6
7
8
]
B = \begin{bmatrix} 5 & 6\\ 7 & 8 \end{bmatrix}
B=[5768]，那么它们的张量积
A
⊗
B
A \otimes B
A⊗B 就是一个
4
×
4
4 \times 4
4×4 的矩阵：
A
⊗
B
=
[
1
×
B
2
×
B
3
×
B
4
×
B
]
=
[
5
6
10
12
7
8
14
16
15
18
20
24
21
24
28
32
]
A \otimes B = \begin{bmatrix} 1 \times B & 2 \times B \\ 3 \times B & 4 \times B \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 5 & 6 & 10 & 12 \\ 7 & 8 & 14 & 16 \\ 15 & 18 & 20 & 24 \\ 21 & 24 & 28 & 32 \end{bmatrix}
A⊗B=[1×B3×B2×B4×B]=
5715216818241014202812162432
张量积的应用非常广泛，例如在图像处理、神经网络和量子力学等领域都有着重要的应用。
矩阵乘法（
⋅
\cdot
⋅）
矩阵乘法是一种针对矩阵的运算，它将两个矩阵相乘得到一个新的矩阵。具体来说，如果
A
A
A 是一个
m
×
n
m \times n
m×n 的矩阵，
B
B
B 是一个
n
×
p
n \times p
n×p 的矩阵，那么它们的乘积
C
=
A
⋅
B
C = A \cdot B
C=A⋅B 就是一个
m
×
p
m \times p
m×p 的矩阵，其中
C
i
,
j
C_{i,j}
Ci,j 的值等于
A
A
A 的第
i
i
i 行和
B
B
B 的第
j
j
j 列对应元素的乘积之和。
例如，如果
A
=
[
1
2
3
4
]
A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix}
A=[1324]，
B
=
[
5
6
7
8
]
B = \begin{bmatrix} 5 & 6 \\ 7 & 8 \end{bmatrix}
B=[5768]，那么它们的乘积
C
=
A
⋅
B
C = A \cdot B
C=A⋅B 就是一个
2
×
2
2 \times 2
2×2 的矩阵： 在矩阵运算中，
⋅
\cdot
⋅ 表示的是矩阵的乘法，而
⊗
\otimes
⊗ 表示的是矩阵的 Kronecker 积运算。矩阵的乘法是针对两个矩阵的运算，对于两个矩阵
A
A
A 和
B
B
B，当且仅当
A
A
A 的列数等于
B
B
B 的行数时，才能进行乘法运算
A
⋅
B
A\cdot B
A⋅B。运算结果为一个矩阵
C
C
C，其中
C
C
C 的行数等于
A
A
A 的行数，列数等于
B
B
B 的列数。例如，对于两个矩阵
A
∈
R
m
×
n
A\in R^{m\times n}
A∈Rm×n 和
B
∈
R
n
×
p
B\in R^{n\times p}
B∈Rn×p，它们的乘积
C
=
A
⋅
B
∈
R
m
×
p
C=A\cdot B\in R^{m\times p}
C=A⋅B∈Rm×p 定义为：
C
i
j
=
∑
k
=
1
n
A
i
k
B
k
j
C_{ij}=\sum_{k=1}^n A_{ik}B_{kj}
Cij=k=1∑nAikBkj
而 Kronecker 积则是一种针对两个矩阵的运算，对于两个矩阵
A
∈
R
m
1
×
n
1
A\in R^{m_1\times n_1}
A∈Rm1×n1 和
B
∈
R
m
2
×
n
2
B\in R^{m_2\times n_2}
B∈Rm2×n2，它们的 Kronecker 积
C
=
A
⊗
B
∈
R
m
1
m
2
×
n
1
n
2
C=A\otimes B\in R^{m_1m_2\times n_1n_2}
C=A⊗B∈Rm1m2×n1n2 定义为：
C
(
i
−
1
)
m
2
+
j
,
(
k
−
1
)
n
2
+
l
=
A
i
k
B
j
l
C_{(i-1)m_2+j,(k-1)n_2+l}=A_{ik}B_{jl}
C(i−1)m2+j,(k−1)n2+l=AikBjl
其中
i
=
1
,
⋯
,
m
1
,
j
=
1
,
⋯
,
m
2
,
k
=
1
,
⋯
,
n
1
,
l
=
1
,
⋯
,
n
2
i=1,\cdots,m_1,j=1,\cdots,m_2,k=1,\cdots,n_1,l=1,\cdots,n_2
i=1,⋯,m1,j=1,⋯,m2,k=1,⋯,n1,l=1,⋯,n2。
简单来说，矩阵乘法针对的是两个矩阵的行列，而 Kronecker 积针对的是两个矩阵中每个元素的运算。在实际的应用中，Kronecker 积通常被用于矩阵的展开和卷积等操作，而矩阵乘法则是计算神经网络中各层之间权重和输入数据的运算。